Ejercicios — Capítulo 2¶
Clase 4 Fundamentos matemáticos
Intenta cada ejercicio con lápiz y papel antes de mirar la solución. Cuando puedas, verifica el resultado con la Práctica 2.
Notación de Dirac¶
2.1 Sean \( |\psi\rangle = \tfrac{1}{\sqrt2}\big(|0\rangle + |1\rangle\big) \) y \( |\phi\rangle = \tfrac{1}{\sqrt2}\big(|0\rangle - |1\rangle\big) \). Calcula \( \langle\phi|\psi\rangle \). ¿Qué relación geométrica tienen los dos estados?
Solución
\( \langle\phi|\psi\rangle = \tfrac12(\langle0| - \langle1|)(|0\rangle + |1\rangle) = \tfrac12(\langle0|0\rangle + \langle0|1\rangle - \langle1|0\rangle - \langle1|1\rangle) = \tfrac12(1 + 0 - 0 - 1) = 0 \). Son ortogonales: \(|\psi\rangle=|+\rangle\) y \(|\phi\rangle=|-\rangle\) forman la base de Hadamard.
2.2 Demuestra que para \( |\psi\rangle = \alpha|0\rangle + \beta|1\rangle \), el bra es \( \langle\psi| = \alpha^*\langle0| + \beta^*\langle1| \). ¿Por qué aparece el conjugado?
Solución
El bra es el conjugado transpuesto (adjunto) del ket. Como columna, \(|\psi\rangle=\binom{\alpha}{\beta}\); su adjunto es la fila \((\alpha^*,\ \beta^*)\). El conjugado es necesario para que \(\langle\psi|\psi\rangle=|\alpha|^2+|\beta|^2\) sea real y no negativo (una norma), lo que exige el producto sesquilineal.
Matrices de Pauli¶
2.3 Verifica que la matriz \( \sigma_x = \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} \) tiene autovalores \(+1\) y \(-1\), y encuentra sus autovectores.
Solución
\(\det(\sigma_x-\lambda I)=\lambda^2-1=0 \Rightarrow \lambda=\pm1\). Para \(\lambda=+1\): \(\binom{a}{b}\) con \(a=b\) → \(|+\rangle=\tfrac{1}{\sqrt2}\binom{1}{1}\). Para \(\lambda=-1\): \(a=-b\) → \(|-\rangle=\tfrac{1}{\sqrt2}\binom{1}{-1}\). Los autovectores de \(\sigma_x\) son la base de Hadamard.
2.4 Comprueba que \( \sigma_x \) y \( \sigma_z \) no conmutan calculando \( [\sigma_x,\sigma_z]=\sigma_x\sigma_z-\sigma_z\sigma_x \).
Solución
\(\sigma_x\sigma_z=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}\), \(\sigma_z\sigma_x=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}\). Entonces \([\sigma_x,\sigma_z]=\begin{pmatrix}0&-2\\2&0\end{pmatrix}=-2i\,\sigma_y\neq 0\). No conmutan: por eso no se pueden medir \(x\) y \(z\) simultáneamente con precisión (base del principio de incertidumbre).
Hermíticas, unitarias y medición¶
2.5 La compuerta de Hadamard es \( H=\tfrac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix} \). Demuestra que es a la vez hermítica (\(H=H^\dagger\)) y unitaria (\(H^\dagger H=I\)).
Solución
\(H\) es real y simétrica, así que \(H^\dagger=H^T=H\) (hermítica). Y \(H^2=\tfrac12\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}=\tfrac12\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}=I\), luego \(H^\dagger H=H^2=I\) (unitaria). Es de las pocas compuertas que son su propia inversa.
2.6 Se prepara el estado \( |+\rangle \) y se mide en la base computacional \(\{|0\rangle,|1\rangle\}\). ¿Cuáles son las probabilidades? Si en cambio se mide en la base \(\{|+\rangle,|-\rangle\}\), ¿qué se obtiene?
Solución
En la base \(\{|0\rangle,|1\rangle\}\): \(P(0)=|\langle0|+\rangle|^2=\tfrac12\) y \(P(1)=\tfrac12\) (azar puro). En la base \(\{|+\rangle,|-\rangle\}\): \(P(+)=|\langle+|+\rangle|^2=1\), \(P(-)=0\) (resultado determinista). La aleatoriedad no está "en el estado": depende de en qué base se mide.
Producto tensorial¶
2.7 Construye el vector del estado \( |01\rangle \) usando el producto tensorial \( |0\rangle\otimes|1\rangle \). ¿Cuántas amplitudes tiene un estado de \(n\) qubits?
Solución
\(|0\rangle\otimes|1\rangle=\binom{1}{0}\otimes\binom{0}{1}=(0,1,0,0)^T\), el segundo vector de la base de \(\mathbb{C}^4\). Un estado de \(n\) qubits vive en \((\mathbb{C}^2)^{\otimes n}=\mathbb{C}^{2^n}\): tiene \(2^n\) amplitudes complejas. De ahí la muralla exponencial del Capítulo 1.
Unitarias, tensorial y entrelazamiento (diapositivas 30–47)¶
2.8 Verifica que \( A=\begin{pmatrix}2&i\\-i&2\end{pmatrix} \) es hermítica y encuentra sus autovalores. ¿Por qué debían salir reales?
Solución
\(A^\dagger=(\overline{A})^T=A\) (la entrada \(i\) se conjuga a \(-i\) y la transposición las intercambia): es hermítica. Polinomio: \((2-\lambda)^2-(i)(-i)=(2-\lambda)^2-1=0\Rightarrow\lambda=1,3\). Son reales porque toda matriz hermítica tiene autovalores reales (representan resultados de medición).
2.9 Sea \(U\) unitaria y \( |\psi'\rangle=U|\psi\rangle \). Demuestra que \( \langle\psi'|\psi'\rangle=\langle\psi|\psi\rangle \) (la norma se conserva).
Solución
\( \langle\psi'|\psi'\rangle=(U|\psi\rangle)^\dagger(U|\psi\rangle)=\langle\psi|U^\dagger U|\psi\rangle=\langle\psi|I|\psi\rangle=\langle\psi|\psi\rangle \). Conservar la norma (la probabilidad total) es justo lo que exige que las compuertas sean unitarias.
2.10 La compuerta CNOT invierte el segundo qubit (objetivo) si el primero (control) es \(|1\rangle\). Calcula su acción sobre \(|10\rangle\) y \(|11\rangle\).
Solución
Control \(=1\) en ambos casos, así que se invierte el objetivo: \(|10\rangle\to|11\rangle\) y \(|11\rangle\to|10\rangle\). Sobre \(|00\rangle\) y \(|01\rangle\) (control \(=0\)) no hace nada.
2.11 Enuncia el teorema de no-clonación y explica, en una línea, por qué choca con la linealidad.
Solución
No existe una operación unitaria que copie un estado cuántico desconocido y arbitrario: \(U(|\psi\rangle|0\rangle)=|\psi\rangle|\psi\rangle\) no puede valer para todo \(|\psi\rangle\), porque la linealidad de \(U\) aplicada a una superposición \(|\psi\rangle=a|0\rangle+b|1\rangle\) da \(a|00\rangle+b|11\rangle\neq(a|0\rangle+b|1\rangle)^{\otimes2}\). Es la base de la seguridad de BB84.
2.12 Escribe la descomposición espectral de \(\sigma_z\) en términos de proyectores y verifica que reproduce la matriz.
Solución
\(\sigma_z=(+1)\,|0\rangle\langle0|+(-1)\,|1\rangle\langle1|=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}\). Autovalores como pesos, proyectores como "medidores": así se conecta un observable con su medición.
2.13 ¿Cuál es la dimensión del espacio de Hilbert de 3 qubits? Escribe el estado \(|101\rangle\) como vector de la base e indica la posición (contando desde 0) de su único 1.
Solución
\(\dim=2^3=8\). En \(\mathbb{C}^8\), \(|101\rangle\) es el vector base cuyo 1 está en la posición \(101_2=5\) (contando desde 0). El orden de la base es el binario de las etiquetas.
2.14 Demuestra que el estado de Bell \( |\Phi^+\rangle=\tfrac{1}{\sqrt2}(|00\rangle+|11\rangle) \) no se puede escribir como producto \((a|0\rangle+b|1\rangle)\otimes(c|0\rangle+d|1\rangle)\): está entrelazado.
Solución
El producto da \(ac|00\rangle+ad|01\rangle+bc|10\rangle+bd|11\rangle\). Igualar con \(|\Phi^+\rangle\) exige \(ad=0\) y \(bc=0\), pero también \(ac=bd=\tfrac{1}{\sqrt2}\neq0\), lo que obliga a \(a,b,c,d\neq0\) — contradicción. No hay factorización: el estado es entrelazado.
2.15 Calcula el valor esperado \( \langle\sigma_z\rangle \) en el estado \( |\psi\rangle=\tfrac{\sqrt3}{2}|0\rangle+\tfrac12|1\rangle \).
Solución
\( \langle\sigma_z\rangle=\langle\psi|\sigma_z|\psi\rangle=|\alpha|^2-|\beta|^2=\tfrac34-\tfrac14=\tfrac12 \). Es el promedio \((+1)P(0)+(-1)P(1)\) de los resultados \(\pm1\) ponderados por sus probabilidades.
Verifica con la computadora
Casi todos estos ejercicios se pueden comprobar en tres líneas de NumPy. Ábrelos en la Práctica 2 y confirma tus respuestas.
Ponte a prueba
Cuando termines, presenta el Quiz — unitarias, tensorial y entrelazamiento: 20 preguntas que se califican solas, con explicación de cada respuesta.