Ejercicios — Capítulo 1¶
Clases 1–3
Intenta cada ejercicio antes de mirar la solución.
Conceptos¶
1.1 Explica con tus palabras la diferencia entre una mezcla estadística clásica (una moneda girando en el aire) y una superposición cuántica. ¿Por qué el vector \((1/2, 1/2)\) no es un qubit?
Solución
En la mezcla clásica la moneda ya tiene un valor definido; el vector solo describe nuestra ignorancia, y sus componentes son probabilidades que suman 1. En la superposición cuántica el sistema no tiene valor definido antes de medir, y sus componentes son amplitudes complejas cuyos módulos al cuadrado suman 1. El vector \((1/2,1/2)\) tiene componentes que suman 1 (probabilidades), no amplitudes con \(|\alpha|^2+|\beta|^2=1\); un qubit \(|+\rangle\) sería \(\left(\tfrac{1}{\sqrt2},\tfrac{1}{\sqrt2}\right)\).
1.2 ¿Por qué la naturaleza necesita números complejos y no basta con reales? Da un ejemplo físico.
Solución
Por la interferencia. En la doble rendija las amplitudes de dos caminos pueden cancelarse, produciendo probabilidad cero donde el razonamiento clásico predice luz. Eso requiere amplitudes que puedan tener fase (negativas o, en general, complejas): \(P=|\psi_1+\psi_2|^2=|\psi_1|^2+|\psi_2|^2+2\,\mathrm{Re}[\psi_1^*\psi_2]\), y el último término (interferencia) no existe en la probabilidad clásica.
Cálculo¶
1.3 Un qubit está en el estado \( |\psi\rangle = \tfrac{1}{2}|0\rangle + \tfrac{\sqrt3}{2}|1\rangle \). ¿Cuál es la probabilidad de medir \(|0\rangle\)? ¿Y \(|1\rangle\)? Verifica la normalización.
Solución
\(P(0)=|\tfrac12|^2=\tfrac14\); \(P(1)=|\tfrac{\sqrt3}{2}|^2=\tfrac34\). Normalización: \(\tfrac14+\tfrac34=1\) ✓.
1.4 Escribe el bra \(\langle\psi|\) correspondiente a \( |\psi\rangle=\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle \) y calcula \(\langle\psi|\psi\rangle\).
Solución
\(\langle\psi|=\alpha^*\langle0|+\beta^*\langle1|\). Usando \(\langle i|j\rangle=\delta_{ij}\): \(\langle\psi|\psi\rangle=|\alpha|^2+|\beta|^2\), que vale 1 si el estado está normalizado.
Reflexión (la muralla exponencial)¶
1.5 La penicilina se describe con unos 286 espín-orbitales. Explica por qué el costo clásico es \(2^{286}\) y por qué un computador cuántico necesita solo 286 qubits.
Solución
Cada espín-orbital es una "casilla" que puede estar vacía (0) u ocupada (1): un qubit. Con \(M\) casillas independientes hay \(2^M\) configuraciones (producto tensorial: \(\dim(\mathbb C^2)^{\otimes M}=2^M\)), y una función de onda general es una superposición de todas, con \(2^M\) amplitudes que un computador clásico tendría que almacenar. Un computador cuántico no las guarda: las encarna en \(M=286\) qubits físicos. Recurso lineal, capacidad exponencial.
Ponte a prueba
Cuando termines, presenta el Quiz del Capítulo 1: diez preguntas que se califican solas, con explicación de cada respuesta.
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